SZERENCSESZÁMOK

 

 

Egyik nap éppen a hallban üldögéltem a Princetonon, amikor arra lettem figyelmes, hogy néhány matematikus az ex függvény sorba fejtéséről beszél. Ez a sor a következőképpen fest: 1 + x+ x2/2! + x3/3! +... Minden tag úgy áll elő, hogy az előző tagot megszorozzuk x-szel és elosztjuk a soron következő számmal. Eszerint az x4/4 után a következő tagot úgy kapjuk, hogy az egészet megszorozzuk x-szel és elosztjuk 5-tel. Ilyen egyszerű az egész!

Annak idején, gyerekkoromban nagyon szerettem játszani a sorokkal; ennek a sornak a segítségével például kiszámítottam az e értékét, és élvezettel figyeltem, milyen gyorsan csökken a sor egymásra következő tagjainak értéke.

Hallgattam a matematikusokat, és közben valami olyat mormogtam félhangosan, hogy ezzel a sorral fejben is könnyű kiszámolni az e akárhányadik hatványát (egyszerűen x helyébe képzeljük a kitevőt).

- Ó, tényleg? Akkor tessék: mennyi e a 3,3-dikon?! - vágta rá valamelyik tréfás kedvű matematikus; Tukey volt, azt hiszem.

-  Na, ez nem nehéz: 27,11!

Tukey tudta, hogy ezt nem is olyan könnyű fejben kiszámolni:

-  Hé, hogy jött ez ki ilyen gyorsan?!

Erre már egy másik matematikus is megszólalt:

- Ismeritek Feynmant: tuti, hogy valami trükk van a dologban! Elmentek egy függvénytáblázatért, én meg közben még két tizedesjeggyel továbbjutottam:

-  Az eredmény még pontosabban: 27,1126!

Megnézték a táblázatban:

-  Stimmel! De hogy számoltad ki?!

-  Egyszerűen összeadtam a sor tagjait!

-  Képtelenség egy sort ilyen gyorsan összegezni! Biztos pont ezt az értéket tudtad fejből! Akkor mondd meg, mennyi e a 3-dikon?

-  Ide figyeljetek, ez megterhelő munka: naponta csak egyet vállalok!

-  Aha, tehát csalás az egész! - vágták rá győzedelmesen.

-  Na jó, legyen! Az eredmény: 20,085!

Megnézték a táblázatban, én meg közben tovább számoltam néhány tizedesjeggyel. Most már tényleg izgatni kezdte őket a dolog, mert ez is stimmelt!

Íme, napjaink kitűnő matematikusai értedenül állnak a rejtély előtt, hogy én fejben ki tudom számolni az e akármelyik hatványát! Az egyik matematikus kijelentette: - Egyszerűen lehetetlen ilyen gyorsan behelyettesíteni és összeadni! Valami trükk van a dologban! Egy olyan nyakatekert hatványt, mint, mondjuk, e az 1,4-iken, már biztosan nem tudsz fejben kiszámolni!

-  Hát, nem könnyű, de a kedvedért kiszámolom: 4,05!

Miközben kikeresték a táblázatból, még néhány tizedessel továbbjutottam, és utána közöltem velük:

-  A mai napra legyen ennyi elég! - azzal kisétáltam az előcsarnokból, Az volt a dolog mögött, hogy történetesen fejből tudtam három számot: a 10-nek az e alapú logaritmusát (ezzel kell átszámítani a tízes alapú logaritmust e alapúra), ami annyi, mint 2,3026 (ebből pedig már azt is tudtam, hogy e a 2,3-dikon értéke nagyon közel lehet 10-hez), valamint a radioaktivitással (az átlagos élettartammal és a felezési idővel) kapcsolatos ismereteim folytán tudtam, hogy a 2-nek az e alapú logaritmusa 0,69315 (ebből pedig hamar kikalkuláltam, hogy e a 0,7-diken közel esik 2-höz), és persze azt is tudtam fejből, hogy az e értéke (vagyis e az 1.-n) annyi mint 2,71828.

Az első szám, amit feladatképpen kaptam, az e a 3,3-dikon volt, márpedig ez ugyanaz, mint e a 2,3-dikon szorozva e-vel, vagyis 10 szorozva e-vel, tehát 27,18. Amíg a matematikusok azon tanakodtak, hogyan számolhattam ezt ki, még ki is igazíthattam az eredményt a 0,0026-nek megfelelően - 2,3026 egy kicsit sok tizedesjegy a fejben számoláshoz...

Tudtam, hogy még egyszer nem sikerülhet - csak a vakszerencse tette, hogy éppen ez a szám merült fel -, de aztán azt kérdezték, hogy mennyi e a 3-dikon, én meg úgy gondolkodtam, hogy az ugyanannyi, mint e a 2,3-dikon szorozva e a 0,7-ikennel, azaz 10-szer 2. Ebből pedig az következett, hogy az eredmény húsz egész valamennyi, és miközben a matematikusok törték a fejüket, hogy mi lehet ebben a trükk, én pontosítottam az eredményt, figyelembe véve a hiányzó 0,693-at.

Ha vállalok még egy feladatot, bizonyosan elvérzek, gondoltam, hiszen előbb is csak a véletlen segített. De jött az e az 1,4-diken, ami körülbelül e a 0,7-szer e-ediken. Nem volt más dolgom, mint a 4-et pontosítani egy kicsit - a matematikusoknak pedig soha nem sikerült rájönniük, hogy mi a titkom!

Az még Los Alamosban derült ki számomra, hogy Hans Bethe a fejszámolás világbajnoka. Egyszer valami képletbe helyettesítettünk be néhány számot, és eljutottunk a 48 négyzetéig. Már nyúltam a Marcnant-számológép felé, amikor Hans megszólalt: „2300!” Kezdtem beütni a számokat, erre még hozzátette: „Pontosabban: 2304!”

A számológép közben kiadta: 2304. „Azannya! Ezt nevezem!”, kiáltottam elismerőleg.

-  Miért, te nem tudtad, hogyan kell négyzetre emelni az 50-hez közeli számokat? - kérdi Hans. - Négyzetre emeled az 50-et, az ugye annyi, mint 2500, aztán kivonod belőle az 50 és a te számod különbségének a százszorosát (ami ebben az esetben 2-szer 100-zal egyenlő), és máris megkapod a 2300-at. Ha pontosabb eredmény kell, vedd a különbség négyzetét, és add hozzá az eredményhez - az annyi mint 2304!

Néhány perc múlva a 2 1/2 köbgyöke kellett. Mármost a Marchant-számológépen csak egy közelítő táblázat segítségével lehetett kiszámolni a köbgyökértékeket; kihúzom a fiókot, benyúlok a táblázatért - mire megszólal Hans (ez már neki is tovább tartott egy kicsit): „Az körülbelül annyimint 1,35!”

Kiszámolom a Marchant-számológéppel: tényleg annyi!

-  Hát ezt meg honnan tudtad? Talán a számok köbgyökére is van valami titkos formulád?

-  Ó, hát a 2,5 logaritmusa az ennyi meg ennyi. Vesszük az egyharmadát, ami valahol az 1,3 logaritmusa - ennyi meg ennyi - és az 1,4 logaritmusa - annyi meg annyi - között lehet. Szóval: interpoláltam.

Több dologra is rájöttem: először is, Hans fejből tudja a logaritmus-táblát, másodszor, hogy amit az interpolációhoz kiszámolt, nekem önmagában is tovább tartott volna, mint kivenni a táblázatot és beütni a számokat a gépbe. Szó, ami szó, nagyon imponált nekem Hans számolási tudománya, és attól kezdve magam is megpróbálkoztam ilyen trükkökkel. Megjegyeztem néhány logaritmusértéket, és kezdtem fölfigyelni bizonyos összefüggésekre. Például ha az a kérdés, hogy mennyi 28-nak a négyzete, eszünkbejuthat, hogy 2 négyzetgyöke 1,4, a 28 pedig annyi, mint 1,4-szer 20, vagyis a 28 négyzete körülbelül 2-szer 400, ami annyi mint 800.

Ha valaki odaállít azzal, hogy mennyi 1 osztva 1,73-dal, rögtön kész vagyok a válasszal: 0,577 - mert észreveszem, hogy 1,73 közelítőleg 3-nak a négyzetgyöke, vagyis 1 osztva 1,73-dal az valahol a 3 négyzetgyökének az egyharmada körül lehet. Ha az a kérdés, hogy mennyi 1/1,75, namar rájövök, hogy az 1/1,75 éppen egyenlő a 7/4 reciprokával, azt Pedig már fejből tudom, hogy az 1/7 végtelen szakaszos tizedes tört, és úgy kezdődik, hogy 0,1428571...

Valódi élvezettel próbálgattam Hansszal a számolás trükkösen gyors kódjait, de csak nagy ritkán fordult elő, hogy figyelmes lettem valamire, amit ő nem vett észre: olyankor én jutottam el gyorsabban az eredményhez, ő meg a maga szívből jövő módján, teli torokból hahotázott. Bármi volt is a feladat, szinte mindig képes volt egy százalékon belüli hibával megadni az eredményt - könnyű volt neki, hiszen minden szám közelében találhatott egy olyan másik számot, amit már fejből tudott...

Egy alkalommal, amikor éppen majd szétvetett az önbizalom - nem tudom, mi ütött belém -, ebédidőben kihirdettem a laborban: „Hatvan másodpercen belül minden számolási feladatra, amit tíz másodperc alatt el tudtok mondani nekem, tíz százalékon belüli hibával megadom az eredményt!” Mindenki igyekezett kifogni rajtam, jöttek a nehezebbnél nehezebb feladatokkal, például: integráld az 1/(1 +x4) függvényt, meg más hasonlókkal; a legnehezebb az volt, hogy adjam meg az x10 binomiális együtthatóját az (1 + x)20-ban - ezzel épp hogy időben sikerült végeznem.

Záporoztak a feladatok, én meg nagyszerűen mulattam, amikor egyszer csak besétált a terembe Paul Olum. Már a Princetonon is együtt dolgoztunk, azután Los Alamosban megint összekerültünk. Paulnak mindig jobban vágott az esze, amit a következő eset is bizonyít. Egyik nap egy rugós mérőszalaggal játszadoztam - tudják, azzal, ami gombnyomásra visszafut a dobozába -, és a szalag vége mindig fájdalmasat csapott a kezemre. - Aúú! Micsoda idióta vagyok, itt szórakozom ezzel a nyavalyás mérőszalaggal, és állandóan rácsapok vele a saját kezemre!

Paul odabőkte: - Mert nem jól fogod! - Azzal fölmarkolta azt a vacakot, kihúzta belőle a szalagot, megnyomta a gombot, a szalag visszaszaladt a dobba - és semmi fájdalom!

-  A mindenit, hogy csináltad?! - kiáltottam döbbenten.

-  Találd ki!

A következő két hét azzal telt, hogy Princeton-szerte mérőszalaggal a kezemben sétafikáltam, és addig próbáltam kiokoskodni Paul módszerét, míg a végén már tiszta seb volt a kezem. Végül aztán nem bírtam tovább:

-  Feladom, Paul! Hogy az ördögbe csináltad, hogy neked nem fajt.

-  Ki mondta, hogy nem fájt?! Dehogyisnem fájt!

Csak álltam ott hülyén: úristen, én meg két héten keresztül járkáltam föl-alá a mérőszalaggal, és egyfolytában kínoztam a kezem!

Szóval, Paul besétált az ebédlőbe, a többiek meg izgatottan kezdtek újságolni neki: - Képzeld, Paul, Feynman óriásit alakít: minden számolási feladatra, amit tíz másodpercen belül el tudunk neki mondani, egy percen belül megadja a választ, méghozzá tízszázalékos pontossággal Gyerünk, te is adj fel neki valamit!

Paul szinte meg sem állt, úgy vetette oda: -10 fok tangense a 100-adikon!

Puff neki! Ezzel aztán kivégzett: pivel kellett volna osztanom száz tizedesjegyig! Kár is lett volna belevágni!

Egy másik alkalommal azzal dicsekedtem, hogy „...bármilyen integrál értékét, amit mindenki más görbe menti integrálként számolna ki, én egyéb módszerrel is meg tudom adni!” Hát erre Paul nem előáll egy szörnyűséges integrállal, valami komplex függvényből megszerkesztve, amire ő tudta a megoldást, de kivette belőle a valós részt, csak a komplex részt hagyta benne, és aztán úgy fejtette ki az egészet, hogy csakis görbe menti integrállal lehetett kiszámolni! Mindig sikerült megtépáznia az önérzetemet - hiába, nagyon okos pasas volt!

A következő történet akkor esett meg velem, amikor először jártam Brazíliában. Éppen ebédeltem valahol, mégpedig egyedüli vendégként; már nem tudom, hány óra volt, mert ott mindig a legfurcsább időpontokban ültem be valamelyik étterembe. Rizses marhahúst ettem (azt nagyon szeretem), és vagy négy pincér legyeskedett körülöttem, lesve minden kívánságom.

Egyszer csak bejött egy japán figura, akit már azelőtt is láttam lófrálni arrafelé: golyós számológépet, más néven abakuszt árult. Odament a pincérekhez, és elkezdte nekik magyarázni, hogy hajlandó kiállni velük egy versenyre: akármilyen gyorsan is tudnak fejben összeadni, ő a számológépével biztosan gyorsabb lesz náluk.

A pincérek nem akartak szégyenben maradni: - Jó, jó, persze! De tudja mit, inkább azt a vendéget hívja ki versenyre! - A japán erre odajött hozzám, mire én rögtön tiltakozni kezdtem:

-  Nem beszélek jól portugálul!

A pincérek csak nevettek: - Ugyan, a számokat könnyű megérteni! - azzal hoztak nekem papírt és tollat.

A japán megkérte az egyik pincért, mondjon néhány számot, hogy mi majd összeadhassuk őket. Persze csúfos vereséget szenvedtem, mert a japán már rég elkezdte az összeadást, amikor én még a számok körmölésével voltam elfoglalva. Javasoltam, hogy a pincér inkább írja le egy-egy papírra ugyanazt a számsort, és a papírokat egyszerre adja a kezünkbe. A végeredmény ugyanaz lett: a japán fölényesen győzött. Kicsit már elkapta a hév, önmaga előtt is bizonyítani akart: - Multiplicação! -kiáltotta hirtelen.

Valaki leírt egy szorzást, és a japán megint győzött, de most már nem olyan nagy különbséggel - a szorzásban speciel elég jó vagyok. Ám ekkor a japán elkövetett egy hibát: azt ajánlotta, hogy térjünk át az osztásra. Nem tudta, hogy minél nehezebb műveletet választ, annál jobbak az esélyeim.

Mindketten elvégeztünk egy hosszadalmas osztási feladatot: az eredmény döntetlen lett. Na, erre a japán nagyon feldühödött - őt, aki olyan jól bánik az abakusszal, egy éttermi vendég kis híján legyőzi a számolásban!

-  Raios cubicos! - kurjantotta bosszúszomjasan. Köbgyökvonás! Golyós számológéppel akar köbgyököt vonni! Az aritmetikában aligha van nehezebb, mint a köbgyökvonás - az abakusszal való számolásban pedig bizonyosan ez volt a japán tudásának non plus ultrája! Leírt egy számot a papírra - 1729,03 volt az, máig emlékszem -, aztán elkezdett számolni az abakusszal, közben motyogott és zsémbelodött magában - „Mmmmaag-mmmmbrrr”. Úgy járt a keze, mint a motolla, az egész világ megszűnt a számára, annyira elmerült a köbgyökvonásban.

Én közben csak ültem és ültem, nem csináltam semmit. Az egyik pincér meg is kérdezte: - Hát maga?!

-  Gondolkodom! - azzal leírtam a papíromra: 12, majd egy kis idő múlva kiegészítettem: 12,002.

A japán végül megtörölte gyöngyöző homlokát, és kihirdette: - Tizenkettő!

- Nem úgy van az! - vágtam rá. - Több tizedesjegyet! Több tizedesjegyet! - Tudtam, hogy köbgyökvonáskor minden újabb tizedesjegyet nagyobb és nagyobb kínszenvedés kiszámolni.

A japán újra elmerült a számolásban, közben föl-fölhorkant és egyre mormogott, „Rrrrrgrrrrmmmm...”, én meg ezalatt újabb két tizedesjeggyel egészítettem ki az eredményt. A japán végül felnézett: „12,0!”

A pincérek nagy vidáman mutatták neki: - Nézze, ő nem csinál mást, csak gondolkodik, magának meg abakusz kell hozzá - és ő mégis több számjegyet kapott, mint maga! – A japán teljesen össze volt törve, porig alázva távozott, a pincérek meg boldogan gratuláltak egymásnak.

Hogyan sikerült legyőznöm az abakuszt? A szám ugyebár ez volt. 1729,03. Véletlenül tudtam fejből, hogy egy köbláb az annyi, mint 1728 köbhüvelyk, következésképpen a keresett köbgyök értéke kevéssel lenne több, mint 12. A különbség, vagyis az 1,03 majdnem úgy aránylik az 1728-hoz, mint 1 a 2000-hez, márpedig ez igen kis szám. Azt pedig meg hajdanán, differenciálszámításból megtanultam, hogy nagyon kis törtek esetén két szám köbgyökének különbsége körülbelül a két szám különbségének harmada. Vettem tehát az 1/1728-at mint törtet, és megszoroztam 4-gyel (elosztottam 3-mal és megszoroztam 12-vel): így jutottam el három tizedesjegyig.

Néhány héttel később a japán felbukkant a szállodában, ahol megszálltam: amikor belépett a bárba, rögtön megismert, és oda is jött hozzám:

- Árulja már el, hogyan számolta ki olyan gyorsan azt a köbgyököt? Nekifogtam megmagyarázni, hogy közelítéses módszerrel dolgoztam, és hogy mi is az a hibaszázalék:

-  Tegyük fel, hogy azt mondja a múltkor: számoljuk ki 28-nak a köbgyökét! Mármost 27-nek a köbgyöke, ugye, 3-mal egyenlő... - Erre a japán fölkapta az abakuszt: zzzzzzzzzz - Igen, annyi!

És ekkor rádöbbentem: hiszen ez az én japánom nem tud számolni! Ott van neki az abakusz, nem kellett megjegyeznie a számtani összefüggéseket - elég volt megtanulnia, hogy milyen rendszer szerint tologassa le-föl a golyócskákat. Azt nem tudta, hogy 9 meg 7 az 16, csak azt tudta, hogy a 9 hozzáadásához a tízeseknél fölfelé, az egyeseknél pedig lefelé kell tolnia egy golyót. A számtani alapműveletekben lassabbak vagyunk az abakusznál - de mi legalább tudunk számolni!

Maga a kerekítéses módszer is meghaladta a japán felfogóképességét, pedig a kerekítés nagyon hasznos eljárás, mivel a köbgyökérték gyakran semmiféle matematikai módszerrel nem adható meg pontosan. Így hát nem tudtam elmondani az abakuszművésznek, hogyan számoltam ki azt a köbgyököt, és azt sem magyarázhattam el, micsoda szerencsém volt, hogy éppen az 1729,03-at választotta feladatképpen...